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--- why_n-1_gradient_explanation [2025/09/04 10:33] – created hkimscil
+++ why_n-1_gradient_explanation [2025/09/05 19:51] (current) – [리소스를 많이 사용하지 않고 msr값이 최소가 되는 v값을 찾는 방법] hkimscil
@@ Line 1: / Line 1: @@
+====== mean X를 중심으로 x값들을 구해서 (x-v)에 사용하는 경우 ======
 <code>
 #library(ggplot2)
@@ Line 4: / Line 6: @@
 rm(list=ls())
+# rnorm 펑션을 변형한 펑션으로
+# mean값과 sd값을 같는 n개의 샘플원소를
+# 구한다. (샘플의 평균과 표준편차가
+# 정확히 원하는 값이 되도록 함)
 rnorm2 <- function(n,mean,sd){
   mean+sd*scale(rnorm(n))
@@ Line 11: / Line 17: @@
 nx <- 1000
 mx <- 50
-sdx <- mx * 0.15
+sdx <- mx * 0.1
+sdx  # 5
 x <- rnorm2(nx, mx, sdx)
+# x <- rnorm2(1000, 50, 5) 와 동일
 mean(x)
@@ Line 19: / Line 27: @@
 hist(x)
-x.span <- seq(from = mean(x)-4*sd(x),
+x.span <- seq(from = mean(x)-3*sd(x),
-              to = mean(x)+4*sd(x),
+              to = mean(x)+3*sd(x),
-              by = 0.1)
+              by = .1)
 residuals <- function(x, v) {
@@ Line 27: / Line 35: @@
 }
-ssr <- function(x, v) {
+# sum of square residual 값을
+# 구하는 펑션
+ssr <- function(x, v) {
   residuals <- (x - v)
   return(sum(residuals^2))
 }
+#  mean square residual 값을
+# 구하는 펑션 (mean square
+# residual = variance)
 msr <- function(x, v) {
   residuals <- (x - v)
-#  return((sum(residuals^2))/(length(x)-1))
+# return((sum(residuals^2))/(length(x)-1))
   return((mean(residuals^2)))
 }
-srs <- c() # sum of residuals
 ssrs <- c() # sum of square residuals
 msrs <- c() # mean square residuals = variance
 vs <- c() # the value of v in (x - v)
+x.span
+# x.span의 값들을 v값으로 삼아
+# sum(x-x.span)^2 처럼 구하면
+# SS값을 구한 것이 된다.
+# 우리가 배운 SS값은 x.span의
+# 값으로 샘플의 평균을 사용했을 때의
+# residual 값이다.
+# x.span은 샘플의 평균을 중심으로
+# 여러가지 값을 사용하는 것을
+# 가정한다.
 for (i in x.span) {
   res.x <- residuals(x,i)
-  srs.x <- sum(res.x)
+#  srs.x <- sum(res.x)
   ssr.x <- ssr(x,i)
   msr.x <- msr(x,i)
-  srs <- append(srs, srs.x)
+#  srs <- append(srs, srs.x)
   ssrs <- append(ssrs, ssr.x)
   msrs <- append(msrs, msr.x)
   vs <- append(vs, i)
 }
+# 아래 plot은 SS값들이나 (두번째는)
+# MS값들을 v값이 변화함에 따라서
+# (x.span의 범위에 따라서 변화)
+# 어떻게 변화하는지 구한 것
 plot(ssrs)
 plot(msrs)
-plot(srs)
+# 아래는 위에서 계산한 msr 값들을 저장한
+# msrs값들 중에서 최소값이 되는 것을 찾은
+# 것. 우리는 이것이 샘플의 평균임을 안다.
 min(msrs)
+# 최소값일 때의 위치 (msrs에서 몇번째인지)
 min.pos.msrs <- which(msrs == min(msrs))
 min.pos.msrs
+# 그 위치에 해당하는 (그 때 사용된) v값
 print(vs[min.pos.msrs])
-mean(x)
+</code>
-plot(vs, msrs)
-plot(vs, ssrs)
+다시 설명하면 위의 코드는 [sum(x-mean(x)^2 / n]을 (= ms값 혹은 분산값임) 구하는 식에 mean(x)대신에 다양한 x값을 넣어 본 것이다. 그리고, 이 때 ms값 중에서 최소값이 되는 지점을 찾아서 이 때 사용된 v값을 (mean(x)대신에 사용된) 알아 본것이다. 이 v값이 mean(x)이 되는 것을 확인하여 mean(x)값으로 빼서 구한 SS값이 가장 작은 ms값을 (혹은 SS값을) 갖는다는 것을 보여준다.
+====== 리소스를 많이 사용하지 않고 msr값이 최소가 되는 v값을 찾는 방법 ======
+위 방법의 단점은 x.span의 값을 길게 나열하여 한번씩 넣어서 msr값을 구하여 최소값을 보는데 리소스를 너무 사용한다는 것이다.
+아래는 그 단점을 극복하는 방법이다.
+<WRAP group>
+<WRAP half column>
+<code>
 # the above no gradient
-# mse 값으로 계산 rather than sse
-# 후자는 값이 너무 커짐
 gradient <- function(x, v){
   residuals = x - v
-  # y = (x-v)^2
+  # y = (sum(x-v)^2)/n 혹은 (mean(x-v)^2)
-  # dy/dv = 2(x-v)*-1 chain rule
+  # 의 식이 ms값을 구하는 식인데
-  # dy/dv = -2(x-v)
+  # 이를 v에 대해서 미분하면 chain rule을 써야 한다
+  # 자세한 것은 http://commres.net/wiki/estimated_standard_deviation
+  # 문서 중에 미분 부분 참조
+  # dy/dv = ( 2(x-v)*-1 ) / n chain rule
+  # dy/dv = -2 (x-v) / n = -2 (mean(residual))
   dx = -2 * mean(residuals)
-  return(list("ds" = dx))
+  # return(list("ds" = dx))
+  return(dx)
 } # function returns ds value
+>
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP half column>
+이후 일련의 코드의 목적은 v값이 최소값이 되는 지점을 자동적으로 찾아보려는 것이다. 이것을 위해서 우선 v값으로 사용할 첫 점수를 랜덤하게 구한 후 (아래 그래프에서 빨간색 지점), 자동적으로 그 다음 v 점수를 찾고 (녹색지점), 그 다음 v 점수를 찾고 (황금색 지점), . . . 이런 과정을 계속하면서 각 v 점수에서의 msr값을 구해서 이에 해당하는 v값을 찾아 보려고 한다. 빨간색, 녹색, 황금색, . . . 이를 자동적으로 구하기 위해서 두가지 방법을 사용하는데 그 것이
+  * gradient function과
+  * learning_rate 값이다.
+gradient 펑션은 dy/dv 의 연쇄 미분식인 ([[:chain rules]]) -2(x-v) / n = -2 mean(res) 값을 구하는 것이다. 이렇게 구한 값에 learning_rate값을 곱한후, 이것을 먼저 사용한 v값에서 (빨간색 지점) 빼 주어 다음 v값으로 (녹색지점) 사용하려고 한다. 이 녹색지점에서의 v값을 사용했을 때의 gradient값을 구한 후 다시 이값에 learning_rate인 0.1을 곱하여 그 다음 v값을 구하여 사용한다. 이렇게 구하는 v값들은 0.1씩 곱해주는 효과때문에 오른 쪽으로 옮겨가는 지점이 "<fc #ff0000>**점진적으로 줄어들게 되고**</fc>" 이 지점이 msr의 최소값이 되는 지점으로 가게 된다.
+{{:pasted:20250905-190437.png}}
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP half column>
+<code>
 residuals <- function(x, v) {
   return(x - v)
@@ Line 92: / Line 168: @@
 #  return(mean(residuals^2))
 }
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP half column>
+msr값을 구하기 위한 function
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP half column>
+<code>
+zx <- (x-mean(x))/sd(x)
 # pick one random v in (x-v)
 v <- rnorm(1)
+>
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP half column>
+comment
+  * 랜덤하게 v값을 찾음 ''v <- rnorm(1)''
+  * 원래는 mean(x)값 근처의 값을 랜덤하게 골라야 하므로
+  * ''v <- rnorm(1, mean(x), sd(x))'' 와 같이 써야 하지만 (현재의 경우, '' rnorm(1, 50, 5) ''가 된다)
+  * 그렇게 하질 않고 x 집합의 원소들을 표준점수화 한 후 '' zx <- (x-mean(x))/sd(x) ''
+  * (이렇게 표준점수화 하면 x 변인의 평균이 0, 표준편차가 1 이 되는 집합으로 변한다)
+  * '' v <- rnorm(1, 0, 1) ''로 구한다. 뒤의 인자인 0, 1 은 default이모로 생략.
+  * 이렇게 하는 이유는 혹시 나중에 다른 x집합에 똑같은 작업을 하더라도 그 집합의 평균과 표준편차를 사용하지 않고
+  * 단순히 '' rnorm(1)'' 을 이용해서 찾으려고 하는 것이다.
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP half column>
+<code>
 # Train the model with scaled features
 learning.rate = 1e-1
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP half column>
+comment
+  * 이 0.1은 gradient function으로 구한 해단 v값에 대한 y 기울기 값을 (미분값)
+  * 구한 후, 여기에 곱하기 위해서 지정한다.
+</WRAP>
+</WRAP>
-grads <- c()
+<WRAP group>
-ssrs <- c()
+<WRAP half column>
+<code>
 msrs <- c()
-mres <- c()
 vs <- c()
-steps <- c()
-# Record Loss for each epoch:
-zx <- (x-mean(x))/sd(x)
 nlen <- 75
 for (epoch in 1:nlen) {
   residual <- residuals(zx, v)
-  # ssr.x <- ssr(zx, v)
+  msr.x <- msr(zx, v)
-  # msr.x <- msr(zx, v)
-  # ssrs <- append(ssrs, ssr.x)
-  # msrs <- append(msrs, msr.x)
   grad <- gradient(zx, v)
-  # grads <- append(grads, grad$ds)
+  step.v <- grad * learning.rate #
-  step.v <- grad$ds * learning.rate
+  v <- v - step.v # 그 다음 v값
-  # steps <- append(steps, step.v)
+  vs <- append(vs, v) # v값 저장
-  v <- v - step.v
-  vs <- append(vs, v)
 }
-tail(grads)
-tail(srs)
 tail(msrs)
-tail(ssrs)
 tail(vs)
-plot(srs)
 plot(msrs)
-plot(ssrs)
 plot(vs)
-plot(grads)
+</code>
+</WRAP>
+<WRAP half column>
+comment
+</WRAP>
+</WRAP>
+<WRAP group>
+<WRAP half column>
+<code>
 # scaled
-v
+vs # 변화하는 v 값들의 집합
-# zx <- (x-mean(x))/sd(x)
-# v.표준화 <- (v.원래 - mean(x))/sd(x)
-v.orig <- (v*sd(x))+mean(x)
-v.orig
-steps
 vs.orig <- (vs*sd(x))+mean(x)
 vs.orig
-grads
+# 마지막 v값이 최소값에 근접한 값
+v
+v.orig <- (v*sd(x))+mean(x)
+v.orig
 </code>
+</WRAP>
+<WRAP half column>
+comment
+</WRAP>
+</WRAP>