$$X \sim Po(\lambda)$$

단위 시간, 단위 공간에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인가를 표현하는 이산 확률분포
모수(population parameter).

• 단위시간 또는 단위공간에서 평균발생횟수
• lambda (λ)로 표시
  • 한 시간 동안 은행에 다녀간 고객의 수
  • 한 시간 동안 사무실에 걸려온 전화의 수
  • 어떤 책의 한 페이지에 존재하는 오타의 수
  • 팝콘 기계가 일주일 동안 고장나는 횟수

조건

• 개별 사건이 주어진 구간에 임의로 그리고 독립적으로 발생
  • 일주일 동안
  • 1마일마다 등 시간이나 공간
• 해당 구간에서 사건이 발생하는 수의 평균값이나 비율을 알고 있음 (lambda($\lambda$))

$$ P(X=r) = e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!},\qquad k = 0, 1, 2, . . ., $$

For curiosity,
\begin{eqnarray*} \sum_{r=0}^{\infty} e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!} & = & e^{- \lambda} \sum_{r=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{r}} {r!} \\ & = & e^{- \lambda} \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right) \\ & = & e^{- \lambda}e^{\lambda} \\ & = & 1 \end{eqnarray*}

왜 $e^{\lambda} = \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right)$ 인지는 Taylor series 문서를 참조.
이것이 의미하는 것은 r이 0에서 무한대로 갈 때의 확률값의 분포를 말하므로 전체 분포가 1이 됨을 의미한다. 아래 “What does the Poisson distribution look like?” 참조

> e <- exp(1)
> e
[1] 2.718282

위의 그림은 lambda는 2, 즉 한달에 아주대학교 앞의 건널목 주변 찻길에서 교통사고가 날 횟수가 2회라고 할 때, X=3 이므로 3번 교통사고가 일어날 확률을 (P(X=3)) 묻는 문제이다.
\begin{eqnarray*} P(X = 3) & = & e^{-2} * \frac {2^{3}}{3!} \\ & = & 0.180 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} P(X=r) = e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!},\qquad r = 0, 1, 2, . . ., \end{eqnarray*}

마포 신한은행 지점에 시간당 은행에 방문하는 손님의 숫자: lambda = 30

> dpois(x=1:60, lambda=30)
 [1] 2.807287e-12 4.210930e-11 4.210930e-10 3.158198e-09 1.894919e-08
 [6] 9.474593e-08 4.060540e-07 1.522702e-06 5.075675e-06 1.522702e-05
[11] 4.152825e-05 1.038206e-04 2.395861e-04 5.133987e-04 1.026797e-03
[16] 1.925245e-03 3.397491e-03 5.662486e-03 8.940767e-03 1.341115e-02
[21] 1.915879e-02 2.612562e-02 3.407689e-02 4.259611e-02 5.111534e-02
[26] 5.897924e-02 6.553248e-02 7.021338e-02 7.263453e-02 7.263453e-02
[31] 7.029148e-02 6.589826e-02 5.990751e-02 5.285957e-02 4.530820e-02
[36] 3.775683e-02 3.061365e-02 2.416867e-02 1.859128e-02 1.394346e-02
[41] 1.020253e-02 7.287524e-03 5.084319e-03 3.466581e-03 2.311054e-03
[46] 1.507209e-03 9.620485e-04 6.012803e-04 3.681308e-04 2.208785e-04
[51] 1.299285e-04 7.495876e-05 4.242949e-05 2.357194e-05 1.285742e-05
[56] 6.887904e-06 3.625212e-06 1.875110e-06 9.534457e-07 4.767229e-07
> plot(dpois(x=1:60, lambda=30), type = "l")
> 

위에서 언급한

\begin{eqnarray*} \sum_{r=0}^{\infty} e^{- \lambda} \dfrac{\lambda^{r}} {r!} & = & e^{- \lambda} \sum_{r=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{r}} {r!} \\ & = & e^{- \lambda} \left(1 + \lambda + \dfrac{\lambda^{2}}{2!} + \dfrac{\lambda^{3}}{3!} + . . . \right) \\ & = & e^{- \lambda}e^{\lambda} \\ & = & 1 \end{eqnarray*}

에서 1 이란 이야기는 아래 그림의 그래프가 전체가 1이 됨을 의미함. 즉 위에서는 1부터 60까지 갔지만, 1부터 무한대로 하면 완전한 분포곡선이 되는데 이것이 1이라는 뜻 (가령 dpois(x=1:1000, lambda=30)과 같은 케이스).

Figure 1. lambda=30

lambda가 클 수록 좌우대칭의 종형분포를 이루고 ¹⁾, 작을 수록 오른 쪽으로 편향된 (skewed to the right) 혹은 양의방향으로 편향된(positively skewed) 분포를 ²⁾ 이룬다.

> dpois(x=1:60, lambda=.3)
 [1]  2.222455e-01  3.333682e-02  3.333682e-03  2.500261e-04  1.500157e-05
 [6]  7.500784e-07  3.214622e-08  1.205483e-09  4.018277e-11  1.205483e-12
[11]  3.287682e-14  8.219204e-16  1.896739e-17  4.064441e-19  8.128883e-21
[16]  1.524166e-22  2.689704e-24  4.482840e-26  7.078168e-28  1.061725e-29
[21]  1.516750e-31  2.068296e-33  2.697777e-35  3.372222e-37  4.046666e-39
[26]  4.669230e-41  5.188033e-43  5.558607e-45  5.750283e-47  5.750283e-49
[31]  5.564790e-51  5.216991e-53  4.742719e-55  4.184752e-57  3.586930e-59
[36]  2.989108e-61  2.423601e-63  1.913370e-65  1.471823e-67  1.103867e-69
[41]  8.077076e-72  5.769340e-74  4.025121e-76  2.744401e-78  1.829600e-80
[46]  1.193218e-82  7.616283e-85  4.760177e-87  2.914394e-89  1.748636e-91
[51]  1.028610e-93  5.934286e-96  3.359030e-98 1.866128e-100 1.017888e-102
[56] 5.452971e-105 2.869985e-107 1.484475e-109 7.548177e-112 3.774089e-114
> plot(dpois(x=1:60, lambda=.3), type = "l")
> 

Figure 2. lambda = 3

일반적으로 lambda가 1보다 작으면 geometric distribution 형태의 그래프를, 1보다 크면 정규분포 형태의 모양을 갖는다.

1. What’s the probability of the machine not malfunctioning next week?

$\lambda = 3.4$
$\text{malfunctioning} = 0$

\begin{eqnarray*} P(X=0) & = & e^{-3.4} * \frac{3.4^{0}} {0!} \\ & = & e^{-3.4} \\ & = & 0.03337327 \end{eqnarray*}

# R 에서 계산
> e^(-3.4)
[1] 0.03337327
> 
# 혹은 
> dpois(0, 3.4)
[1] 0.03337327
> 

포아송 분포를 따르는 확률에서 아무것도 일어나지 않을 때의 확률은 e^-lambda 가 된다. 예를 들면 119 전화가 한시간에 걸려오는 확률이 5번이라고 할 때, 지난 한 시간동안 한 건의 전화도 없을 확률은?
\begin{eqnarray*} P(X=0) & = & e^{-5} * \frac{5^{0}} {0!} \\ & = & e^{-5} \\ & = & 0.006737947 \end{eqnarray*}

> lamba <- 5
> e <- exp(1)
> px.0 <- e^(-lamba)
> 
> px.0
[1] 0.006737947
> 
# or 
> dpois(0,5)
[1] 0.006737947

2. What’s the probability of the machine malfunctioning three times next week?

l <- 3.4
x <- 3
e <- exp(1)
ans <- ((e^(-l))*l^x)/factorial(x)

> l <- 3.4
> x <- 3
> e <- exp(1)
> ans <- ((e^(-l))*l^x)/factorial(x)
>     
> ans
[1] 0.2186172
> 

위의 계산 대신 아래와 같은 function을 이용하는 것이 보통이다.

> dpois(x=3, lambda=3.4)
[1] 0.2186172

마찬가지로 적어도 3번까지 고장나는 경우는 0, 1, 2, 3을 포함하므로

> sum(dpois(c(0:3), lambda=3.4))
[1] 0.5583571
> 

3. What’s the expectation and variance of the machine malfunctions?
\begin{eqnarray*} E(X) & = & \lambda \\ Var(X) & = & \lambda \\ & = & 3.4 \end{eqnarray*}

mean and variance of Poisson distribution

\begin{eqnarray*} X \sim Po(3.4) \\ Y \sim Po(2.3) \end{eqnarray*}

위의 조건일 때, Popcorn 기계와 coffee 기계가 한 주일 동안 고장나지 않을 확률을 구하려면 아래를 말한다.
\begin{eqnarray*} P(X + Y = 0) \end{eqnarray*}

여기서 X + Y의 분포는 아래와 같다.
\begin{eqnarray*} X + Y \sim (\lambda_{x} + \lambda_{y}) \end{eqnarray*}

lambda의 합은 5.7이고 (아래 참조), 결국 lambda가 5.7일 때 X=0의 확률(probability)를 구하는 문제이므로 0.003
\begin{eqnarray*} \lambda_{X} + \lambda_{Y} & = & 3.4 + 2.3 \\ & = & 5.7 \\ \end{eqnarray*}

$$X + Y \sim Po(5.7)$$

\begin{eqnarray*} P(X + Y = 0) & = & \frac {e^{- \lambda} \lambda^{r}} {r!} \\ & = & \frac {e^{-5.7} 5.7^{0}}{0!} \\ & = & e^{-5.7} \\ & = & 0.003 \end{eqnarray*}

우선 위의 문제를 binomial distribution 문제로 생각하면 답은
\begin{eqnarray*} P(r=15) & = & _{100}C_{15} * 0.1^{15} * 0.99^{85}\\ \end{eqnarray*}
라고 볼 수 있다.

\begin{eqnarray} X & \sim & B(n, p) \\ X & \sim & Po(\lambda) \end{eqnarray}

Poisson distribution을 대신 사용할 수 있으려면, B(n, p)와 Po(lambda)가 유사해야 한다. 두 distribution의 기대값과 분산값을 살펴보면,

• B(n, p)의 경우 E(X) = np
• Po(lambda)의 경우 E(X) = lambda 이고

• Var(X) = npq 이고
• Var(lambda) = lambda 이다.

따라서, 둘의 성격이 비슷하기 위해서는 npq 와 np가 같아야 한다. 따라서 q는 1이어야 하는데, 현실적으로 1일 수는 없으므로 1에 가깞고, n이 충분히 크다면 둘의 성격이 비슷해질 수 있다고 판단한다. 따라서,

• 만약 n이 충분히 크고
• p가 작으면 (q가 크면)
• $X \sim B(n, p)$와 $Y \sim Po(np)$는 비슷할 것이다.
• 보통은 n > 50인 경우, p = 0.1 보다 작은 경우가 위에 해당한다.

> dbinom(x=15, 100, 0.1)
[1] 0.03268244
> choose(100, 15)
[1] 2.533385e+17
> a <- choose(100, 15)
> b <- .1^15
> c <- .9^85
> a*b*c
[1] 0.03268244
> 

위가 답이긴 하지만 limited calculator 로는
x ~ b (n, p)이고
b(100, 0.1)이므로
n*p = 10 = lambda
따라서 Pois 분포로 보는 답은
lambda = 10 일때 P(r=15)값을 구하는 문제로

\begin{eqnarray*} P(r = 15) & = & e^{-10} * \frac {10^{15}}{15!} \\ & = & 0.0347180 \end{eqnarray*}

> dpois(x=15, lambda=10)
[1] 0.03471807
> 

> dbinom(x=5, 50, 0.05)
[1] 0.06584064
> 

> dpois(x=5, lambda = 2.5)
[1] 0.06680094
> 

> n <- 50
> p <- .05
> q <- 1-p
> x <- 5
> np <- n*p
# Poisson distribution
> e <- exp(1)
> lambda <- np
> lambda
[1] 2.5
> a <- e^(-lambda)
> b <- lambda^x
> c <- factorial(x)
> a*b/c
[1] 0.06680094
>