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sampling distribution
sampling distribution in r
central limit theorem
hypothesis testing

• 어떤 모집단이 존재한다.
• 모집단의 분포는 정상분포일 필요가 없다.
• 이 집단에서 무작위 샘플을 무한히 (많은 숫자만큼) 취하여 샘플의 평균을 기록하면
  • 이 샘플평균들은 정상분포의 곡선을 보인다.
  • 이 샘플평균들의 평균은 모집단의 평균이 된다.
  • 이 샘플평균들의 분산값은 $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$을 갖는다.

이를 하나의 식으로 요약하자면 (확률과통계 시간에서 배운)

$ \overline{X} \sim \text{N} \left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n} \right)$

• 위에서 $\overline{X} $ 는 X bar 들의 분포를 이야기한다. 즉 샘플평균들의 분포(집합)를 말한다.
• N 은 Normal distribution 을 뜻한다.
• 괄호의 내용은 이 Normal distribution이
  • 평균값으로 $\mu$ 값을 갖고,
  • 분산값으로 $\dfrac{\sigma^2}{n}$ 값을 갖는다는 뜻이다

예,

p <- c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
set.seed(512)
iter <- 10000
n <- 2
means <- rep (NA, iter)
for(i in 1:iter){
    means[i] = mean(sample(p, n))
}
mean(means)
var(means)
sd(means)
mean(p)
var(p)/n
sd(p)/sqrt(n)
sd1 <- sd(means)
m <- mean(means)
hist(means, main=m, xlim=c(0,9), ylim=c(0,0.5), 
     freq = F, 
     cex.main=2, cex.axis=1.5, cex.lab = 1.5)
curve(dnorm(x, mean=m, sd=sd1), col="blue", 
      add=TRUE, lty=1, lwd=3)
abline(v = m, lty=2, lwd=3, col="red")
abline(v=mean(p), lty=2, lwd=3, col="blue")

set.seed(512)
par(mfrow=c(2,2))
n <- 3
means <- rep (NA, iter)
for(i in 1:iter){
    means[i] = mean(sample(p, n))
}
mean(means)
var(means)
sd(means)
mean(p)
var(p)/n
sd(p)/sqrt(n)
sd1 <- sd(means)
m <- mean(means)
hist(means, main=m, xlim=c(0,9), ylim=c(0,0.5), 
     freq = F, 
     cex.main=2, cex.axis=1.5, cex.lab = 1.5)
curve(dnorm(x, mean=m, sd=sd1), col="blue", 
      add=TRUE, lty=1, lwd=3)
abline(v = m, lty=2, lwd=3, col="red")
abline(v=mean(p), lty=2, lwd=3, col="blue")

n <- 4
means <- rep (NA, iter)
for(i in 1:iter){
    means[i] = mean(sample(p, n))
}
mean(means)
var(means)
sd(means)
mean(p)
var(p)/n
sd(p)/sqrt(n)
sd1 <- sd(means)
m <- mean(means)
hist(means, main=m, xlim=c(0,9), ylim=c(0,0.5), 
     freq = F, 
     cex.main=2, cex.axis=1.5, cex.lab = 1.5)
curve(dnorm(x, mean=m, sd=sd1), col="blue", 
      add=TRUE, lty=1, lwd=3)
abline(v = m, lty=2, lwd=3, col="red")
abline(v=mean(p), lty=2, lwd=3, col="blue")

n <- 5
means <- rep (NA, iter)
for(i in 1:iter){
    means[i] = mean(sample(p, n))
}
mean(means)
var(means)
sd(means)
mean(p)
var(p)/n
sd(p)/sqrt(n)
sd1 <- sd(means)
m <- mean(means)
hist(means, main=m, xlim=c(0,9), ylim=c(0,0.5), 
     freq = F, 
     cex.main=2, cex.axis=1.5, cex.lab = 1.5)
curve(dnorm(x, mean=m, sd=sd1), col="blue", 
      add=TRUE, lty=1, lwd=3)
abline(v = m, lty=2, lwd=3, col="red")
abline(v=mean(p), lty=2, lwd=3, col="blue")

n <- 6
means <- rep (NA, iter)
for(i in 1:iter){
    means[i] = mean(sample(p, n))
}
mean(means)
var(means)
sd(means)
mean(p)
var(p)/n
sd(p)/sqrt(n)
sd1 <- sd(means)
m <- mean(means)
hist(means, main=m, xlim=c(0,9), ylim=c(0,0.5), 
     freq = F, 
     cex.main=2, cex.axis=1.5, cex.lab = 1.5)
curve(dnorm(x, mean=m, sd=sd1), col="blue", 
      add=TRUE, lty=1, lwd=3)
abline(v = m, lty=2, lwd=3, col="red")
abline(v=mean(p), lty=2, lwd=3, col="blue")

par(mfrow=c(1,1))

이 것이 의미하는 것은

• 모집단의 평균 = 4.5
• 모집단의 분산값 = 9.166667
• 표준편차 = 3.02765

• n = 3,
  • mean = 4.5059
  • var = 2.178116
• n = 4,
  • mean = 4.509225
  • var = 1.377784
• n = 5,
  • mean = 4.49568
  • var = 0.9313945
• n = 6,
  • mean = 4.485983
  • var = 0.610484

위와 비슷하지만 다른 수준의 측정 예.

아주대학교 학생의 온라인 수업에 대한 찬성과 반대가 50 대 50이라고 하자. 그러나, 당신은 이를 알고 있지 못하다. 이를 알아보기 위해서 n = 100 명의 샘플을 무한히 취해서 찬성의 퍼센티지를 알아보려 한다면, 진짜 평균인 50%를 중심으로 그 평균이 모일 것이다. 이는 위에서 언급한 것과 마찬가지로 전체 평균인 50%를 중심으로 그 평균이 모이는 것과 같다. 이 때, 그 표준편차는 아래와 같다.

$ s = \sqrt{\dfrac{p * q}{n}} \;\; \text{, where } \;\;\; q = 1 - p $

따라서 n = 100 일 때, 찬성 샘플 퍼센티지 분포의 표준편차인 표준오차값은

> se <- sqrt((0.5*0.5)/100)
> 2*se
[1] 0.1
> 

위를 이용해서 우리는 n=100 인 샘플의 찬성률은 진짜 찬성률은 50 % +- 10 %인 40-60 %에서 나타날 것을 알 수 있다. 만약에 n = 100이 아닌 1600이라면 50 +- 2.5 인 47.5 - 52.5 % 임을 알 수 있다.

> se <- sqrt((0.5*0.5)/1600)
> 2*se
[1] 0.025
> 

그런데, 위는 모집단의 분포를 알고 있고, 샘플을 취했을 때, 그 샘플의 평균이 (여기서는 퍼센티지) 나타날 구간을 예측하는 것이다. 그러나, 현실에서는 대부분 그 모집단의 특성을 (파라미터를) 알지 못한다. 오히려, 대개는 하나의 샘플을 취해서 그 샘플을 가지고 모집단의 퍼센티지를 예측한다. 이 경우, 우리는

$ s = \sqrt{\dfrac{\hat{p} * \hat{q}}{n}} \;\; \text{, where } \;\;\; \hat{q} = 1 - \hat{p} $

이 논리는 분자부분이 probability sampling을 취했다면 약간의 오차라도 큰 차이가 나지 않을 것이며, n이 충분히 크면, se 값이 충분히 작을 것이라는 논리이다.

set.seed(1203)
# p.n 숫자의 모집단을 생성한다. 
# 모집단은 a, b, c, g 를 지지하는 비율이
# .40, 35, .05, .20 과 같다.
p.n <- 100000
pa <- .4
pb <- .35
pc <- .05
pg <- .2
pop <- sample(c("a", "b", "c", "g"), 
    size=p.n, replace=TRUE, 
    prob=c(pa, pb, pc, pg))

# 위의 모집단에서 샘플을 (n = 100) 취하되
# 이를 만번 반복한다
iter <- 10000
n <- 100
psa <- rep (NA, iter) # 샘플에서 (100) a를 선택하는 비율을 기록
ps <- matrix(data=NA, nrow=iter, ncol=n) # 각 샘플을 row로 하여 만개의 row를 생성한 후
for(i in 1:iter){
    ps[i, ] = sample(pop, n) # 만번 반복하여 n개의 (100) sample을 pop에서 취하여 ps matrix에 기록
    psa[i] = (length(which(ps[i,]=="a")))/n # 각 row에서 a의 percentage를 구해서 psa[]에 만개를 기록
} 
# 정리
# 40%의 a 선택자를 가진 모집단에서 (population)
# 100명의 샘플링을 만번 취했을 때, 그 샘플의 a 선택비율을 기록함

sd.a <- sqrt(pa*(1-pa))
se.a <- sd.a/sqrt(n)
se.a2 <- 2*se.a
se.a3 <- 3*se.a

se.a
se.a2
se.a3

range <- pa + c(-se.a2, se.a2)
range

lower <- range[1]
upper <- range[2]

a <- length(which(psa < lower))
b <- length(which(psa < upper))

(b-a)/length(psa)   ## 2se를 사용한 범위인 95% 근처여야 한다.

hist(psa, freq = F)
curve(dnorm(x, mean=mean(psa), sd=sd(psa)), col="blue", 
      add=TRUE, lty=1, lwd=3)
abline(v=mean(psa), lty=2, lwd=3, col="blue")
abline(v=upper)
abline(v=lower)

> set.seed(1203)
> p.n <- 1000000
> pa <- .4
> pb <- .35
> pc <- .05
> pg <- .2
> pop <- sample(c("a", "b", "c", "g"), 
+               size=p.n, replace=TRUE, 
+               prob=c(pa, pb, pc, pg))
> 
> iter <- 100000
> n <- 1600
> psa <- rep (NA, iter)
> ps <- matrix(data=NA, nrow=iter, ncol=n)
> for(i in 1:iter){
+     ps[i, ] = sample(pop, n)
+     psa[i] = (length(which(ps[i,]=="a")))/n
+ }

> sd.a <- sqrt(pa*(1-pa))
> se.a <- sd.a/sqrt(n)
> se.a2 <- 2*se.a
> se.a3 <- 3*se.a
> 
> se.a
[1] 0.01224745
> se.a2
[1] 0.0244949
> se.a3
[1] 0.03674235
> 
> range <- pa + c(-se.a2, se.a2)
> range
[1] 0.3755051 0.4244949
> 
> lower <- range[1]
> upper <- range[2]
> 
> a <- length(which(psa < lower))
> b <- length(which(psa < upper))
> 
> (b-a)/length(psa)   ## 2se를 사용한 범위인 95% 근처여야 한다.
[1] 0.95517
> 

> hist(psa, freq = F)
> curve(dnorm(x, mean=mean(psa), sd=sd(psa)), col="blue", 
+      add=TRUE, lty=1, lwd=3)
> abline(v=mean(psa), lty=2, lwd=3, col="blue")
> abline(v=upper)
> abline(v=lower)

set.seed(12032)
p.n <- 100000
pa <- .4
pb <- .35
pc <- .05
pg <- .2

pop <- sample(c("a", "b", "c", "g"), 
    size=p.n, replace=TRUE, 
    prob=c(pa, pb, pc, pg))
pop <- factor(pop)

s.2500 <- factor(sample(pop,2500))
s.1600 <- factor(sample(pop,1600))
s.900 <- factor(sample(pop,900))
s.400 <- factor(sample(pop, 400))
s.100 <- factor(sample(pop, 100))
s.49 <- factor(sample(pop, 49))

t.2500 <-data.frame(summary(s.2500)/2500) 
t.1600 <-data.frame(summary(s.1600)/1600) 
t.900 <- data.frame(summary(s.900)/900)
t.400 <- data.frame(summary(s.400)/400)
t.100 <- data.frame(summary(s.100)/100)
t.49 <- data.frame(summary(s.49)/49)

p <- t.100[1,1]
q <- 1-p
n <- length(s.100)

sd.p <- sqrt(p*q) ## 표준편차값
se <- sd.p/sqrt(n) ## 표준오차값 sqrt(n)으로 나눠주기
se2 <- 2*se

se
se2

p+(c(-se2, se2)) ## 샘플지지율에서 추론한 모집단 지지율
p ## 샘플에서 구한 지지율

data.frame(summary(pop)/p.n)[1,1] ## 실제 모집단의 지지율