Mean and variance of sample mean

전제: Expected value (기대값)와 Variance (분산)의 연산에 과한 법칙으로는 ¹⁾ 참조.

X,Y are Independent variables.

$\begin{eqnarray*} E[aX] &=& a E[X] \\ E[X+Y] &=& E[X] + E[Y] \\ Var[aX] &=& a^{\tiny{2}} Var[X] \\ Var[X+Y] &=& Var[X] + Var[Y] \end{eqnarray*}$

Mean of the sample mean

평균이 (mean) $\mu$ 이고, 분산이 (variance) $\sigma^{2}$ 인 모집단에서 (population) 독립적으로 추출되어 관촬되는 $X_{1}, X_{2}, . . . , X_{n}$ 이 있다고 하자. 이 샘플링은 아래와 같이 도식화되어 생각될 수 있다.

$\begin{eqnarray*} X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ . . . . \\ X_{1}, X_{2}, X_{3}, . . . , X_{n} \\ \end{eqnarray*}$

이 때 $X_{2}$ 에 대한 기대값은 $E[X_{2}]$ 일 것이고, 이는 $\mu$ 일 것이다. 또한 $X_{2}$ 에 대한 분산값은 $Var[X_{2}]$ 일 것이고, 이는 $\sigma^{2}$ 일 것이다. 이를 일반화하면,

$\begin{eqnarray*} E[X_{i}] & = & \mu \\ Var[X_{i}] & = & \sigma^{2} \end{eqnarray*}$

한편, $\overline{X}$ 는

$\begin{eqnarray*} \overline{X} = \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[\overline{X}] & = & E \left[ \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \right] \\ & = & \left( \frac{1}{n} \right) E \left[ X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \\ & = & \left( \frac{1}{n} \right) \left(E \left[ X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \right)\\ & = & \left( \frac{1}{n} \right) \left(E[X_{1}] + E[X_{2}] + . . . + E[X_{n}]\right)\\ & = & \left( \frac{1}{n} \right) \left(\mu + \mu + . . . + \mu\right)\\ & = & \left( \frac{1}{n} \right) (n \mu)\\ & = & \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[\overline{X}] & = & \mu \\ \mu_{\overline{X}} & = & \mu \end{eqnarray*}$

Variance of the sample mean

$\begin{eqnarray*} Var[\overline{X}] & = & Var \left[ \dfrac {X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}} {n} \right] \\ & = & (\frac{1}{n})^2 Var \left[ X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n} \right] \\ & = & (\frac{1}{n})^2 (Var[X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}]) \\ & = & (\frac{1}{n})^2 (Var[X_{1}] + Var[X_{2}] + . . . + Var[X_{n}])\\ & = & (\frac{1}{n})^2 (\sigma^2 + \sigma^2 + . . . + \sigma^2) \\ & = & \frac{1}{n^2} n \sigma^2 \\ & = & \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var[\overline{X}] & = & \frac{\sigma^2}{n} \\ \sigma_{\overline{X}}^{2} & = & \frac{\sigma^2}{n} \\ \sigma_{\overline{X}} & = & \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\ \end{eqnarray*}$

¹⁾

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Mean and variance of sample mean

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